Question

证明：当x≥0时，f（x）=e^x+1-3x²-4x+2＞0恒成立．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：证明题,导数的综合应用,不等式的解法及应用

分析：求出f（x）的导数，求出极小值点，注意范围，代入函数f（x）得到最小值，证得最小值大于0，即可．

解答： 证明：f′（x）=e^x+1-6x-4，
即有f′（1）=e²-10＜0，f′（2）=e³-16＞0，x＞2都有f′（x）＞0，
则f′（x）=0在x＞0有且只有一个正根，由二分法思想，可设为x₀∈（1，1.7），
则e^x₀+1=6x₀+4，由于x₀为极小值点，在x＞0也为最小值点，
则f（x）最小值为f（x₀）=e^x₀+1-3x₀²-4x₀+2
=6x₀+4-3x₀²-4x₀+2=-3x₀²+2x₀+6
=-3（x₀-

1

3

）²+

19

3

在（1，1.7）上大于0成立，
则有即f（x）的最小值大于0，
则有当x≥0时，f（x）=e^x+1-3x²-4x+2＞0恒成立．

点评：本题考查不等式恒成立问题，注意转化为求函数的最值，考查运用导数求最值，考查运算能力，属于中档题．