Question

已知函数f（x）=（x²+mx+5）e^x，x∈R．
（1）若函数f（x）没有极值点，求m的取值范围；
（2）若函数f（x）图象在点（3，f（3））处切线与y轴垂直，求证：对于任意x₁，x₂∈[0，4]都有|f（x₁）-f（x₂）|≤e³+e⁴．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：计算题,证明题,导数的概念及应用,导数的综合应用

分析：（1）求出导数，由于函数f（x）没有极值点，则由于e^x＞0，则x²+（m+2）x+m+5＞0恒成立，即有判别式小于0，解得即可；
（2）由于f（x）图象在点（3，f（3））处切线与y轴垂直，则f′（3）=0，即可得到m，再求f（x）在[0，4]上的最大值和最小值，则|f（x₁）-f（x₂）|不大于最大值和最小值的差．

解答： （1）解：函数f（x）=（x²+mx+5）e^x的导数
f′（x）=（x²+（m+2）x+m+5）•e^x，
由于函数f（x）没有极值点，则由于e^x＞0，则x²+（m+2）x+m+5＞0恒成立，
即有判别式小于0，即（m+2）²-4（m+5）＜0，解得-4＜m＜4，
则m的取值范围是（-4，4）；
（2）证明：f′（x）=（x²+（m+2）x+m+5）•e^x，
由于f（x）图象在点（3，f（3））处切线与y轴垂直，
则f′（3）=0，即有9+3（m+2）+m+5=0，解得，m=-5．
则f（x）=（x²-5x+5）e^x，f′（x）=（x²-3x）•e^x，
则当0＜x＜3时，f′（x）＜0，f（x）递减，
当x＞3或x＜0，f′（x）＞0，f（x）递增，
则f（0）取极大且为5，f（3）取极小，且为-e³，
又f（4）=e⁴，
则f（x）在[0，4]的最小值为-e³，最大值为e⁴，
则对于任意x₁，x₂∈[0，4]都有|f（x₁）-f（x₂）|≤e³+e⁴．

点评：本题考查导数的运用：求极值和最值，考查不等式的恒成立问题转化为求最值，考查运算能力，属于中档题．