Question

已知抛物线的顶点在原点，对称轴是双曲线

x2

3

-

y2

4

=1实轴所在的直线，抛物线的焦点到顶点的距离等于双曲线虚轴的长，求抛物线的方程和准线方程．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质,抛物线的标准方程

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：依题意，可设抛物线的方程为：y²=±2px（p＞0），由双曲线

x2

3

-

y2

4

=1的虚轴长为4，可求得p=8，从而可得抛物线的方程和准线方程．

解答： 解：∵双曲线

x2

3

-

y2

4

=1实轴为x轴，虚轴长为4，
∴抛物线的对称轴为x轴，抛物线的焦点到顶点的距离为4，
又该抛物线顶点在原点，
∴抛物线的方程为：y²=±2px（p＞0）；
∵双曲线

x2

3

-

y2

4

=1的虚轴长为4，抛物线的焦点到顶点的距离等于双曲线虚轴的长，
∴

p

2

=4，
解得：p=8，
∴抛物线的方程为y²=±16x，
若抛物线的方程为y²=16x，则其准线方程为：x=-4；
若抛物线的方程为y²=-16x，则其准线方程为：x=4．

点评：本题考查抛物线的简单几何性质及抛物线的标准方程等基本知识，属于中档题．