Question

11．已知二次函数f（x）=ax²+bx+2（a，b∈R）
（1）若此二次函数f（x）的最小值为f（-1）=1，求f（x）的解析式，并写出其单调区间；
（2）在（1）的条件下，f（x）＞x+m在区间[1，3]上恒成立，试求m的范围．

Answer 1

分析 （1）利用二次函数f（x）的最小值为f（-1）=1，推出对称轴以及函数值，求解ab，得到函数的解析式．找出单调区间．
（2）通过分离变量，得到m的不等式，利用二次函数的最值求解即可．

解答 解：（1）由题意有f（-1）=a-b+2=1，
且-$\frac{b}{2a}$=-1，∴a=1，b=2．
∴f（x）=x²+2x+2，单调减区间为（-∞，-1），单调增区间为（-1，+∞）．
（2）f（x）＞x+m在区间[1，3]上恒成立，
即为x²+x+2＞m在[1，3]上恒成立．
设g（x）=x²+x+2，x∈[1，3]，
则g（x）在[1，3]上递增，∴g（x）_min=g（1）=4．
∴m＜4，即m的取值范围为（-∞，4）．

点评 本题考查二次函数的性质的综合应用，函数的最值以及转化思想的应用，考查计算能力．