Question

5．已知椭圆的两个焦点坐标分别为F₁（-1，0），F₂（1，0），并且经过点M（1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）如果直线y=x+m与这个椭圆交于两个不同的点，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先由题分析出椭圆的焦点在x轴上且2a=|MF₁|+|MF₂|，c=1，求出a，b即可求椭圆的标准方程；
（2）联立直线方程与椭圆方程，整理为关于的一元二次方程；再结合直线y=x+m与这个椭圆交于不同的两点知道对应的方程有两个不等实根，判别式大于0即可求出m的取值范围．

解答 解：（1）由题得椭圆的焦点在x轴上，
且2a=|MF₁|+|MF₂|=$\sqrt{（1+1）^{2}+\frac{1}{2}}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}$=2$\sqrt{2}$，即a=$\sqrt{2}$；
又c=1，则b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=1，
即有椭圆的标准方程：$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1；
（2）由$\left\{\begin{array}{l}{y=x+m}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=2}\end{array}\right.$消去y，整理得：3x²+4mx+2m²-2=0．
由直线y=x+m与这个椭圆交于不同的两点得
△=（4m）²-4×3×（2m²-2）＞0
⇒m²＜3⇒-$\sqrt{3}$＜m＜$\sqrt{3}$．
所以m的取值范围是（-$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$）．

点评 本题涉及到椭圆标准方程的求法．在求圆锥曲线的标准方程时，一定要先判断焦点所在位置，避免出错，同时考查直线和椭圆的位置关系，注意运用判别式大于0，考查运算能力，属于中档题．