已知椭圆C的两个焦点坐标分别为E.离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．设M.N为椭圆C上关于x轴对称的不同两点．(Ⅰ)求椭圆C的标准方程,(Ⅱ)若$\overrightarrow{EM}⊥\overrightarrow{EN}$.试求点M的坐标,(Ⅲ)若A(x1.0).B(x2.0)为x轴上两点.且x1x2=2.试判断直线MA.NB的交点P是否在椭圆C上.并证明你的结论� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

6．已知椭圆C的两个焦点坐标分别为E（-1，0），F（1，0），离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．设M，N为椭圆C上关于x轴对称的不同两点．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）若$\overrightarrow{EM}⊥\overrightarrow{EN}$，试求点M的坐标；
（Ⅲ）若A（x₁，0），B（x₂，0）为x轴上两点，且x₁x₂=2，试判断直线MA，NB的交点P是否在椭圆C上，并证明你的结论．

分析（Ⅰ）依题意可设椭圆C的标准方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$，可得：$c=1，\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，b²=a²-c²，解出即可得出．
（II）由$\overrightarrow{EM}⊥\overrightarrow{EN}$，可得$\overrightarrow{EM}•\overrightarrow{EN}=0$，即（m+1）²-n²=0．由点M（m，n）在椭圆$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$上，可得$\frac{m^2}{2}+{n^2}=1$联立解出即可得出．
（III）利用直线的交点、一元二次方程的根与系数的关系、点与椭圆的位置关系即可得出．

解答解：（Ⅰ）依题意可设椭圆C的标准方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$，
则$c=1，\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，∴$c=1，a=\sqrt{2}$，（2分）
又b²=a²-1=1，（3分）
因此，所求的椭圆C的标准方程为$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$．（4分）
（Ⅱ）设M（m，n），N（m，-n），则$\overrightarrow{EM}=（m+1，n）$，$\overrightarrow{EN}=（m+1，-n）$，
因为$\overrightarrow{EM}⊥\overrightarrow{EN}$，所以$\overrightarrow{EM}•\overrightarrow{EN}=0$，即（m+1）²-n²=0①．（5分）因为点M（m，n）在椭圆$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$上，所以$\frac{m^2}{2}+{n^2}=1$②．（6分）
由①②解得 $m=0，\;\;n=±1，m=-\frac{4}{3}，\;\;n=±\frac{1}{3}$．（7分）
因此，符合条件的点有（0，1）、（0，-1）、$（{-\frac{4}{3}，\frac{1}{3}}）$、$（{-\frac{4}{3}，-\frac{1}{3}}）$．（8分）
（Ⅲ）直线MA的方程为y（m-x₁）=n（x-x₁）③，
直线NB的方程为y（m-x₂）=-n（x-x₂）④．（9分）
设直线MA与直线NB交点为P（x₀，y₀），将其坐标代入③、④并整理，得（y₀-n）x₁=my₀-nx₀⑤
（y₀+n）x₂=my₀+nx₀⑥（10分）
⑤与⑥相乘得 $（y_0^2-{n^2}）{x_1}{x_2}={m^2}y_0^2-{n^2}x_0^2$⑦，（11分）
又x₁x₂=2，m²=2-2n²，代入⑦化简得 $x_0^2+2y_0^2=2$，
因此，直线MA与直线NB的交点P仍在椭圆C上．（12分）