Question

16．已知抛物线C：y²=4x，焦点为F，过点P（-1，0）作斜率为k（k＞0）的直线l与抛物线C交于A，B两点，直线AF，BF分别交抛物线C于M，N两点，若$\frac{|AF|}{|FM|}$+$\frac{|BF|}{|FN|}$=18，则k=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

Answer 1

分析 由题意，图形关于x轴对称，A，B，P三点共线，可得$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+1}$=$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}+1}$．由焦半径公式|AF|=x₁+1=|NF|，||BF|=x₂+1=|MF|，$\frac{|AF|}{|FM|}$+$\frac{|BF|}{|FN|}$=$\frac{{y}_{1}}{{y}_{2}}$+$\frac{{y}_{2}}{{y}_{1}}$=18，（y₁+y₂）²=20y₁y₂，再利用韦达定理，即可得出结论．

解答 解：由题意，图形关于x轴对称，A，B，P三点共线，可得$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+1}$=$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}+1}$．
由焦半径公式|AF|=x₁+1=|NF|，||BF|=x₂+1=|MF|，
∴$\frac{|AF|}{|FM|}$+$\frac{|BF|}{|FN|}$=$\frac{{y}_{1}}{{y}_{2}}$+$\frac{{y}_{2}}{{y}_{1}}$=18，∴（y₁+y₂）²=20y₁y₂，
由$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=4x}\\{y=k（x+1）}\end{array}\right.$，可得ky²-4y+4k=0，
∴y₁+y₂=$\frac{4}{k}$，y₁y₂=4，∴$\frac{16}{{k}^{2}}$=80，
∵k＞0，∴k=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
故答案为$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．