Question

17．将矩形ABCD绕边AB旋转一周得到一个圆柱，AB=3，BC=2，圆柱上底面圆心为O，△EFG为下底面圆的一个内接直角三角形，则三棱锥O-EFG体积的最大值是4．

Answer 1

分析 三棱锥O-EFG的高为圆柱的高，即高为ABC，当三棱锥O-EFG体积取最大值时，△EFG的面积最大，当EF为直径，且G在EF的垂直平分线上时，（S_△EFG）_max=$\frac{1}{2}×4×2=4$，由此能求出三棱锥O-EFG体积的最大值．

解答 解：∵将矩形ABCD绕边AB旋转一周得到一个圆柱，AB=3，BC=2，
圆柱上底面圆心为O，△EFG为下底面圆的一个内接直角三角形，
∴三棱锥O-EFG的高为圆柱的高，即高为ABC，
∴当三棱锥O-EFG体积取最大值时，△EFG的面积最大，
当EF为直径，且G在EF的垂直平分线上时，
（S_△EFG）_max=$\frac{1}{2}×4×2=4$，
∴三棱锥O-EFG体积的最大值V_max=$\frac{1}{3}×（{S}_{△EFG}）_{max}×AB$=$\frac{1}{3}×4×3=4$．
故答案为：4．

点评 本题考查三棱锥的体积的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．