题目内容
已知函数f（x）=x+
，其中常数a＞0
（1）证明：函数f（x）在（0，
]上是减函数，在[
，+∞）上是增函数；
（2）利用（1）的结论，求函数y=x+
（x∈[4，6]）的值域；
（3）借助（1）的结论，试指出函数g（x）=
+x+1(x＞0)的单调区间，不必证明．
| a |
| x |
（1）证明：函数f（x）在（0，
| a |
| a |
（2）利用（1）的结论，求函数y=x+
| 20 |
| x |
（3）借助（1）的结论，试指出函数g（x）=
| -7x |
| x2 |
考点：函数单调性的性质
专题：函数的性质及应用
分析：（1）利用导数判断函数的单调性；
（2）由（1）知函数y=x+
在[4，
]上为减函数，在[
，6]上为增函数，即可求得最值；
（3）由（1）的结论写出即可．
（2）由（1）知函数y=x+
| 20 |
| x |
| 20 |
| 20 |
（3）由（1）的结论写出即可．
解答：
（1）证明：∵f（x）=x+
，∴f′（x）=1-
∴由1-
≥0得x≤-
或x≥
，故f（x）在[
，+∞）上是增函数；
由1-
≤0得，-
≤x≤
，又x≠0，故-
≤x＜0或0＜x≤
，
故f（x）在（0，
]上是减函数．
（2）由（1）知函数y=x+
在[4，
]上为减函数，在[
，6]上为增函数，
∴当x=
时，ymin=2
，又当x=4时，y=9，当x=6时，y=
∴ymax=
；
综上可得，函数y=x+
（x∈[4，6]）的值域是[2
，
]．
（3）∵g（x）=
+x+1(x＞0)
∴g（x）=x-
+1，
∴由（1）可知函数g（x）=
+x+1(x＞0)在（0，+∞）上是增函数，
故函数g（x）=
+x+1(x＞0)的递增区间是（0，+∞）．
| a |
| x |
| a |
| x2 |
∴由1-
| a |
| x2 |
| a |
| a |
| a |
由1-
| a |
| x2 |
| a |
| a |
| a |
| a |
故f（x）在（0，
| a |
（2）由（1）知函数y=x+
| 20 |
| x |
| 20 |
| 20 |
∴当x=
| 20 |
| 20 |
| 28 |
| 3 |
| 28 |
| 3 |
综上可得，函数y=x+
| 20 |
| x |
| 20 |
| 28 |
| 3 |
（3）∵g（x）=
| -7x |
| x2 |
∴g（x）=x-
| 7 |
| x |
∴由（1）可知函数g（x）=
| -7x |
| x2 |
故函数g（x）=
| -7x |
| x2 |
点评：考查导数单调性的判断方法以及利用函数的单调性求最值的方法．
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