Question

4．在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用，现有6名男志愿者A₁，A₂，A₃，A₄，A₅，A₆和4名女志愿者B₁，B₂，B₃，B₄，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示．
（Ⅰ）求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A₁但不包含B₁的概率．
（Ⅱ）用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列与数学期望EX．

Answer 1

分析 （1）利用组合数公式计算概率；
（2）使用超几何分布的概率公式计算概率，得出分布列，再计算数学期望．

解答 解：（I）记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A₁但不包含B₁的事件为M，
则P（M）=$\frac{{C}_{8}^{4}}{{C}_{10}^{5}}$=$\frac{5}{18}$．
（II）X的可能取值为：0，1，2，3，4，
∴P（X=0）=$\frac{{C}_{6}^{5}}{{C}_{10}^{5}}$=$\frac{1}{42}$，
P（X=1）=$\frac{{{C}_{6}^{4}C}_{4}^{1}}{{C}_{10}^{5}}$=$\frac{5}{21}$，
P（X=2）=$\frac{{{C}_{6}^{3}C}_{4}^{2}}{{C}_{10}^{5}}$=$\frac{10}{21}$，
P（X=3）=$\frac{{{C}_{6}^{2}C}_{4}^{3}}{{C}_{10}^{5}}$=$\frac{5}{21}$，
P（X=4）=$\frac{{{C}_{6}^{1}C}_{4}^{4}}{{C}_{10}^{5}}$=$\frac{1}{42}$．
∴X的分布列为

X	0	1	2	3	4
P	$\frac{1}{42}$	$\frac{5}{21}$	$\frac{10}{21}$	$\frac{5}{21}$	$\frac{1}{42}$

X的数学期望EX=0×$\frac{1}{42}$+1×$\frac{5}{21}$+2×$\frac{10}{21}$+3×$\frac{5}{21}$+4×$\frac{1}{42}$=2．

点评 本题考查了组合数公式与概率计算，超几何分布的分布列与数学期望，属于中档题．