Question

12．已知函数f（x）=2lnx-ax，g（x）=x²．
（1）若函数f（x）在（2，f（2））处的切线与函数g（x）在（2，g（2））处的切线互相平行，求实数a的值；
（2）设函数H（x）=f（x）-g（x）．
（ⅰ）当实数a≥0时，试判断函数y=H（x）在[1，+∞]上的单调性；
（ⅱ）如果x₁，x₂（x₁＜x₂）是H（x）的两个零点，H'（x）为函数H（x）的导函数，证明：$H'（\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}）＜0$．

Answer 1

分析 （1）根据导数的几何意义即可求出a的值，
（2）（i）先求导，根据导数和函数的单调性即可判断，
（ii）由H（x）=0，可得H（x₁）=2lnx₁-x₁²-ax₁=0，H（x₂）=2lnx₂-x₂²-ax₂=0，通过两式相减，整理化简可得a=$\frac{2ln\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$-（x₂+x₁），再代入计算可得H′（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）=-$\frac{2}{{x}_{2}-{x}_{1}}$[2ln$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$-$\frac{2（\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}-1）}{1+\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}}$]，然后换元，构造函数，根据导数和函数的最值即可证明

解答 解：（1）函数f（x）=2lnx-ax的导数为f′（x）=$\frac{2}{x}$-a，
可得f（x）在（2，f（2））处的切线斜率为k₁=1-a；
g（x）=x²的导数为g′（x）=2x，
可得函数g（x）在（2，g（2））处的切线斜率为k₂=4．
由切线平行，可得1-a=4，
解得a=-3．
（2）（i）H（x）=f（x）-g（x）=2lnx-ax-x²，
∴H′（x）=$\frac{2}{x}$-a-2x=-$\frac{2{x}^{2}+ax-2}{x}$，
易知当x＞1时，H′（x）在[1，+∞）上单调递减，
∴H′（x）≤H′（1）=-a，
当a≥0时，H′（x）≤0在[1，+∞）恒成立，
∴当aa≥0时，函数y=H（x）在[1，+∞]上的单调递减，
（ii）∵x₁，x₂（x₁＜x₂）是H（x）的两个零点，
∴H（x₁）=2lnx₁-x₁²-ax₁=0，H（x₂）=2lnx₂-x₂²-ax₂=0，
两式相减可得2ln$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$-（x₂²-x₁²）-a（x₂-x₁）=0，
∴a=$\frac{2ln\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$-（x₂+x₁），
∵H′（x）=$\frac{2}{x}$-a-2x，
∴H′（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）=$\frac{4}{{x}_{1}+{x}_{2}}$-（x₂+x₁）-[$\frac{2ln\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$-（x₂+x₁）]=-$\frac{2ln\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$+$\frac{4}{{x}_{1}+{x}_{2}}$=-$\frac{2}{{x}_{2}-{x}_{1}}$[2ln$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$-$\frac{2（{x}_{2}-{x}_{1}）}{{x}_{1}+{x}_{2}}$]=-$\frac{2}{{x}_{2}-{x}_{1}}$[2ln$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$-$\frac{2（\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}-1）}{1+\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}}$]，
不妨设设t=ln$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$＞1，构造函数h（t）=lnt-$\frac{2（t-1）}{1+t}$，
则h′（t）=$\frac{（t-1）^{2}}{t（t+1）^{2}}$＞0，
∴h（t）在（1，+∞）上是增函数，
∴h（e）＞h（1）=0，
∵-$\frac{2}{{x}_{2}-{x}_{1}}$＜0，
∴H′（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）＜0

点评 本题考查了导数的几何意义以及导数和函数的最值，以及函数零点的问题，以及不等式的证明，考查了学生的运算能力和转化能力，属于难题