题目内容
13．已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，△OAF是边长为2的等边三角形（O为原点），则双曲线的方程为（ ）| A． | $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{12}=1$ | B． | $\frac{x^2}{12}-\frac{y^2}{4}=1$ | C． | $\frac{x^2}{3}-{y^2}=1$ | D． | ${x^2}-\frac{y^2}{3}=1$ |
分析 利用三角形是正三角形，推出a，b关系，通过c=2，求解a，b，然后等到双曲线的方程．
解答 解：双曲线$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，△OAF是边长为2的等边三角形（O为原点），
可得c=2，$\frac{b}{a}=\sqrt{3}$，即$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}=3$，$\frac{{c}^{2}-{a}^{2}}{{a}^{2}}=3$，
解得a=1，b=$\sqrt{3}$，双曲线的焦点坐标在x轴，所得双曲线方程为：${x^2}-\frac{y^2}{3}=1$．
故选：D．
点评 本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．
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18．电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告．已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：
已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟，广告的总播放时间不少于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍．分别用x，y表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数．
（I）用x，y列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；
（II）问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？
| 连续剧播放时长（分钟） | 广告播放时长（分钟） | 收视人次（万） | |
| 甲 | 70 | 5 | 60 |
| 乙 | 60 | 5 | 25 |
（I）用x，y列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；
（II）问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？