Question

已知f（x）=

1

2x-1

（x∈[2，6]）
（1）证明函数f（x）在[2，6]的单调性．
（2）求函数的最大值与最小值．

Answer 1

考点：函数单调性的性质,函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据函数单调性的定义进行证明．
（2）根据函数单调性和最值之间的关系即可得到结论．

解答： （1）证明：设2≤x₁≤x₂≤6，
所以f（x₁）-f（x₂）=

1

2x1-1

-

1

2x2-1

=

2(x2-x1)

(2x1-1)(2x2-1)

由2≤x₁≤x₂≤6，
得x₂-x₁＞0，
于是，f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
因此函数f（x）在[2，6]的单调递减．
（2）由（1）可知函数f（x）在[2，6]的单调递减，
所以f（x）=

1

2x-1

的最大值为f（2）=

1

2×2-1

=

1

3

，
最小值为f（6）=

1

2×6-1

=

1

11

．

点评：本题主要考查函数单调性和最值的求解和证明，利用函数单调性的定义是解决本题的关键．