Question

已知数列{a_n}的前6项如下表所示，其中奇数项成等差数列，偶数项成等比数列．

n	1	2	3	4	5	6	…
an	1	2	3	4	5	8	…

（1）写出数列{a_n}的通项公式（不要求推理过程）；
（2）当n是偶数时，求S_n=a₁a₂+a₃a₄+a₅a₆+…+a_n-1a_n；
（3）当n是奇数时，求数列{a_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由题意，当n是奇数时，显然有a_n=n；当n是偶数时，有a_n=2

n

2

；即可得出．
（2）利用“错位相减法”即可得出．
（3）当n是奇数时，T_n=（a₁+a₃+…+a_n）+（a₂+a₄+…+a_n-1），分别利用等差数列与等比数列的前n项和公式即可得出．

解答： 解：（1）由题意，当n是奇数时，显然有a_n=n；
当n是偶数时，有a_n=2

n

2

；
故通项an=

n，n为奇数 2 n 2 ，n为偶数

．

（2）当n是偶数时，S_n=a₁a₂+a₃a₄+a₅a₆+…+a_n-1a_n
=1×2+3×2²+…+(n-1)×2

n

2

，
则2S_n=1×2²+3×2³+…+(n-1)×2

n

2

+1，
两式相减可得：-S_n=1×2+2×(22+23+…+2

n

2

)-(n-1)×2

n

2

+1
=2+2×

4(2 n 2 -1-1)

2-1

-(n-1)×2

n

2

+1
=-(n-3)×2

n

2

+1-6，
∴Sn=(n-3)×2

n

2

+1+6．
（3）当n是奇数时，T_n=（a₁+a₃+…+a_n）+（a₂+a₄+…+a_n-1）
=(1+3+5+…+n)+(2+22+23+…+2

n-1

2

)
=

n+1

2

×

1+n

2

+

2(1-2 n-1 2 )

1-2

=(

n+1

2

)2+2

n+1

2

-2．

点评：本题考查了“错位相减法”、等差数列与等比数列的通项公式及前n项和公式，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．