Question

已知直线l：x-y+10=0，椭圆C：

x2

25

+

y2

9

=1．在以椭圆C的焦点为焦点并与直线l有公共点的所有椭圆中，长轴最短的椭圆标准方程为

 

．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设与椭圆C：

x2

25

+

y2

9

=1的焦点相同的椭圆方程为

x2

m+16

+

y2

m

=1（m＞0）．当直线l与此椭圆相切时，此椭圆的长轴最短．把x-y+10=0代入

x2

m+16

+

y2

m

=1（m＞0）．化为（2m+16）y²-20my+84m-m²=0，令△=0，解出即可．

解答： 解：设与椭圆C：

x2

25

+

y2

9

=1的焦点相同的椭圆方程为

x2

m+16

+

y2

m

=1（m＞0）．
当直线l与此椭圆相切时，此椭圆的长轴最短．
把x-y+10=0代入

x2

m+16

+

y2

m

=1（m＞0）．
化为：（2m+16）y²-20my+84m-m²=0，
令△=400m²-4（2m+16）（84m-m²）=0，
化为m²-26m-672=0，m＞0．
解得m=42．
∴要求的椭圆的方程为

x2

58

+

y2

42

=1．
故答案为：

x2

58

+

y2

42

=1．

点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相切问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．