Question

已知集合{1，2，3，4，…，n}（n≥3），若该集合具有下列性质的子集：每个子集至少含有2个元素，且每个子集中任意两个元素之差的绝对值大于1，则称这些子集为T子集，记T子集的个数为a_n．
（1）当n=5时，写出所有T子集；
（2）求a₁₀；
（3）记S_n=

a3

23

+

a4

24

+

a5

25

+…+

an

2n

，求证：S_n＜2．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）当n=5时，利用列举法能求出所有T子集．
（Ⅱ）{1，2，3，4，…，k，k+1，k+2}的T子集可分为两类：第一类子集中不含有k+2，这类子集有a_k+1个；第二类子集中含有k+2，这类子集成为{1，2，3，4，…，k}的T子集与{k+2}的并，或为{1，2，3，4，…，k}的单元素子集与{k+2}的并，共有a_k+k个，由此能求出a₁₀．
（Ⅲ）由Sn=

1

23

+

3

24

+

7

25

+…+

an

2n

，得

1

2

Sn=

1

24

+

3

25

+

4

26

+…+

an

2n+1

，由此利用错位相减法能证明S_n＜2

解答： 解：（Ⅰ）当n=5时，所有T子集：
{1，3}，{1，4}，{1，5}，{2，4}，{2，5}，{3，5}，{1，3，5}．
（Ⅱ）{1，2，3，4，…，k，k+1，k+2}的T子集可分为两类：
第一类子集中不含有k+2，这类子集有a_k+1个；
第二类子集中含有k+2，这类子集成为{1，2，3，4，…，k}的T子集与{k+2}的并，
或为{1，2，3，4，…，k}的单元素子集与{k+2}的并，共有a_k+k个．
所以a_k+2=a_k+1+a_k+k．
因为a₃=1，a₄=3，
所以a₅=7，a₆=14，a₇=26，a₈=46，a₉=79，a₁₀=133．
（Ⅲ）∵Sn=

1

23

+

3

24

+

7

25

+…+

an

2n

，①

1

2

Sn=

1

24

+

3

25

+

4

26

+…+

an

2n+1

，②
①-②，得：

1

2

Sn=

1

23

+(

2

24

+

4

23

+

7

26

+…+

an-2+n-2

2n

)-

an

2n+1

=

1

23

+

2

24

+

1

22

(

a2+4

24

+…+

an-2+n-2

2n

)-

an

2n-1

=

1

23

+

2

24

+

1

22

(

a2+3

23

+

a4+4

24

+…+

an-2+n-2

2n-1

)-

an

2n+1

=

1

2n

+

2

2n

+

1

22

Sn-1-(

3

23

+

4

24

+…+

n-2

2n

)-

an

2n+1

=

1

4

+

1

4

Sn-2+

1

4

-(

1

2

)n-1-

n-2

2n

-

an

2n+1

＜

1

4

+

1

4

Sn-2+

1

4

＜

1

2

+

1

4

Sn，
∴S_n＜2．

点评：本题考查所有T子集的求法，考查数列的第10项的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．