Question

若直线l：y=ax+b与曲线C₁：y=a+lnx和曲线C₂：y=ae^x均相切，则ae^a的值为

 

．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：计算题,导数的概念及应用

分析：分别设出两切点，再求出两函数的导数，并用两种形式写出切线的斜率，再结合切线的方程，列方程解出x₁，x₂，从而求出a的值，即可得到答案．

解答： 解：设直线l：y=ax+b与曲线C₁：y=a+lnx
和曲线C₂：y=a•e^x均相切的切点分别为：A（x₁，a+lnx₁），B（x₂，a•e^x₂），
而y=a+lnx的导数为y′=

1

x

，y=a•e^x的导数y′=a•e^x，
则

1

x1

=a•e^x₂=a，解得x₁=

1

a

，x₂=0，
则由切点的特点得，ax₁+b=a+lnx₁，ax₂+b=a•e^x₂，
即有1+b=a-lna，b=a，解得a=

1

e

，
则ae^a的=

1

e

•e

1

e

=e

1

e

-1．
故答案为：e

1

e

-1．

点评：本题主要考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，抓住在某点处的导数即为在这点处切线的斜率，同时注意运用斜截式方程的特点，是一道中档题．