Question

已知函数f(x)=sin(2x+

π

6

)+cos(2x-

2π

3

)+2cos2x．
（1）求f（x）的最大值和最小正周期；
（2）若x0∈[0，

π

2

]且f(x0)=2，求x₀的值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,三角函数的周期性及其求法,三角函数的最值

专题：计算题,三角函数的图像与性质

分析：（1）利用和与差的三角函数公式，结合二倍角的余弦公式和辅助角公式化简，整理得f（x）=2sin（2x+

π

6

）+1，再根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质，即可得到f（x）的最大值和最小正周期；
（2）由由（1）的解析式，得sin（2x₀+

π

6

）=

1

2

，可得2x₀+

π

6

=2kπ+

π

6

或2kπ+

5π

6

（k∈Z），再结合已知条件x₀∈[0，

π

2

]，即可得出x₀的值．

解答： 解：（1）∵sin（2x+

π

6

）=sin2xcos

π

6

+cos2xsin

π

6

=

3

2

sin2x+

1

2

cos2x，
cos（2x-

2π

3

）=cos2xcos

2π

3

+sin2xsin

2π

3

=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x，
∴f(x)=sin(2x+

π

6

)+cos(2x-

2π

3

)+2cos2x
=（

3

2

sin2x+

1

2

cos2x）+（

3

2

sin2x-

1

2

cos2x）+（1+cos2x）
=

3

sin2x+cos2x+1=2sin（2x+

π

6

）+1
∴f（x）的最大值为2+1=3，最小正周期T=

2π

2

=π；
（2）由（1）的解析式，得f（x₀）=2sin（2x₀+

π

6

）+1=2
∴sin（2x₀+

π

6

）=

1

2

，可得2x₀+

π

6

=2kπ+

π

6

或2kπ+

5π

6

，（k∈Z）
∵x₀∈[0，

π

2

]，得2x₀+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]
∴当2x₀+

π

6

=

π

6

时，x₀=0；当2x₀+

π

6

=

5π

6

时，x₀=

π

3

．
综上所述，x₀的值为0或

π

3

．

点评：本题给出三角函数表达式，求函数的最值、周期，并求特殊函数值对应的自变量，着重考查了三角恒等变换和三角函数的图象与性质的知识，属于中档题．