Question

证明：

1

2

-

1

n+1

＜

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

＜

n-1

n

（n=2，3，4…）．

Answer 1

考点：反证法与放缩法

专题：证明题,不等式的解法及应用

分析：利用

1

n2

＜

1

(n-1)n

=

1

n-1

-

1

n

，

1

n2

＞

1

(n+1)n

=

1

n

-

1

n+1

，即可证明结论．

解答： 证明：∵

1

n2

＜

1

(n-1)n

=

1

n-1

-

1

n

，
∴

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

＜1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n-1

-

1

n

=1-

1

n

=

n-1

n

；
∵

1

n2

＞

1

(n+1)n

=

1

n

-

1

n+1

，
∴

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

＞

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

…+

1

n

-

1

n+1

=

1

2

-

1

n+1

，
∴

1

2

-

1

n+1

＜

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

＜

n-1

n

（n=2，3，4…）．

点评：本题考查放缩法，考查学生分析解决问题的能力，利用

1

n2

＜

1

(n-1)n

=

1

n-1

-

1

n

，

1

n2

＞

1

(n+1)n

=

1

n

-

1

n+1

，是关键．