Question

对于函数f（x）=

x

1+|x|

（x∈R），下列说法正确的个数有（　　）
①函数f（x）的值域为（-1，1）；
②若x₁≠x₂，则f（x₁）≠f（x₂）；
③若规定f₁（x）=f（x），f_n（x）=f（f_n-1（x）），则f_n（x）=

x

1+n|x|

对任意n∈N^*恒成立．

• A、0个
• B、1个
• C、2个
• D、3个

Answer 1

考点：函数的图象

专题：函数的性质及应用,推理和证明

分析：先求出f（x）为奇函数，再求出x＞0时的函数值，然后利用奇函数的性质求出f（x）的值域；由函数的单调性能判断结论②的正误；用数学归纳法能判断③的正误．

解答： 解：∵f（x）=

x

1+|x|

（x∈R），
∴f（-x）=

-x

1+|-x|

=-

x

1+|x|

=-f（x），
∴f（x）是奇函数，
x＞0时，f（x）=

x

1+x

=

-1

1+x

+1∈（0，1）且f（x）单调递增，
∴由奇函数的对称性可知函数的值域为（-1，1），
∵函数严格单调，
∴当x₁≠x₂，有f（x₁）≠f（x₂）；
f₂（x）=f（f₁（x））=

x 1+|x|

1+| x 1+|x| |

=

x

1+2|x|

，
f₃（x）═f（f₂（x））=

x 1+2|x|

1+| x 1+2|x| |

=

x

1+3|x|

，
…
由此可得：f_n（x）=

x

1+n|x|

，
用由数学归纳法证明：
①n=3时，f₃（x）═

x

1+3|x|

，成立．
②假设n=k时成立，即f_k（x）=

x

1+k|x|

，
则当n=k+1时，f_k+1（x）=f（f_k（x））=

x 1+k|x|

1+| x 1+k|x| |

=

x

1+(k+1)|x|

，也成立，
∴f_n（x）=

x

1+n|x|

对任意n∈N^*恒成立．
故选：D．

点评：本题考查分段函数的性质，要注意结合函数值域求法及单调性判断方法对甲乙取舍，至于丙的说法用不完全归纳法归纳即可作出判断．