Question

在直角坐标系中，直线l经过点P（2，2），倾斜角α=

π

3

，以该平面直角坐标系的原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系取相同的单位长度，圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ．
（Ⅰ）写出直线l的参数方程与圆C的直角坐标方程；
（Ⅱ）直线l与圆C相交于A、B两点，求

1

|PA|

+

1

|PB|

的值．

Answer 1

考点：简单曲线的极坐标方程

专题：坐标系和参数方程

分析：（I）由直线l经过点P（2，2），倾斜角α=

π

3

，可得直线l的参数方程

x=2+ 1 2 t y=2+ 3 2 t

（t为参数）；圆C的极坐标方程ρ=2cosθ，化为ρ²=2ρcosθ．利用

x=ρcosθ y=ρsinθ

即可得出直角坐标方程．
（II）把直线l的参数方程代入圆的直角坐标方程可得：t2+(2

3

+1)t+4=0，可得根与系数的关系，可得

1

|PA|

+

1

|PB|

=

1

|t1|

+

1

|t2|

=

|t1+t2|

|t1•t2|

．

解答： 解：（I）由直线l经过点P（2，2），倾斜角α=

π

3

，
可得直线l的参数方程

x=2+ 1 2 t y=2+ 3 2 t

（t为参数）；
圆C的极坐标方程ρ=2cosθ，化为ρ²=2ρcosθ．
∴直角坐标方程为x²+y²=2x．
（II）把直线l的参数方程代入圆的直角坐标方程可得：
(2+

1

2

t)2+(2+

3

2

t)2=2(2+

1

2

t)，
化为t2+(2

3

+1)t+4=0，
t₁+t₂=-(2

3

+1)＜0，t₁t₂=4＞0，∴t₁＜0，t₂＜0．
∴

1

|PA|

+

1

|PB|

=

1

|t1|

+

1

|t2|

=

|t1+t2|

|t1•t2|

=

2 3 +1

4

．

点评：本题考查了直线的参数方程及其应用、极坐标方程化为直角坐标方程，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．