Question

5．设正实数x，y，z满足x²-3xy+4y²-z=0，则当$\frac{z}{xy}$取得最小值时，x+2y-z的最大值为（　　）

• A． 1
• B． $\frac{9}{8}$
• C． 2
• D． $\frac{9}{4}$

Answer 1

分析 正实数x，y，z满足x²-3xy+4y²-z=0，可得z=x²-3xy+4y²，$\frac{z}{xy}$=$\frac{{x}^{2}-3xy+4{y}^{2}}{xy}$=$\frac{x}{y}$+$\frac{4y}{x}$-3，再利用基本不等式的性质与二次函数的单调性即可得出．

解答 解：∵正实数x，y，z满足x²-3xy+4y²-z=0，∴z=x²-3xy+4y²，
∴$\frac{z}{xy}$=$\frac{{x}^{2}-3xy+4{y}^{2}}{xy}$=$\frac{x}{y}$+$\frac{4y}{x}$-3≥2$\sqrt{\frac{x}{y}•\frac{4y}{x}}$-3=1，当且仅当x=2y＞0，z=2y²＞0时取等号．
∴x+2y-z=4y-2y²=-2（y-1）²+2≤2，y=1，x=2，z=2时取等号．
∴x+2y-z的最大值为2．
故选：C．

点评 本题考查了基本不等式的性质、配方方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．