Question

15．若$\overrightarrow{b}$=（cos$\frac{π}{12}$，cos$\frac{5π}{12}$），|$\overrightarrow{a}$|=2|$\overrightarrow{b}$|，且（$\sqrt{3}$$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）•$\overrightarrow{b}$=-2，则向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$的夹角为（　　）

• A． $\frac{π}{3}$
• B． $\frac{2π}{3}$
• C． $\frac{5π}{6}$
• D． $\frac{π}{6}$

Answer 1

分析 根据平面向量的坐标运算与模长公式，数量积运算以及夹角公式，即可求出向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$的夹角．

解答 解：$\overrightarrow{b}$=（cos$\frac{π}{12}$，cos$\frac{5π}{12}$）
=（cos$\frac{π}{12}$，sin$\frac{π}{12}$），
∴|$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{{cos}^{2}\frac{π}{12}{+sin}^{2}\frac{π}{12}}$=1，
∴|$\overrightarrow{a}$|=2|$\overrightarrow{b}$|=2，
∴（$\sqrt{3}$$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）•$\overrightarrow{b}$=$\sqrt{3}$$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$+${\overrightarrow{b}}^{2}$
=$\sqrt{3}$×2×1×cosθ+1²=-2，
∴cosθ=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
又∵θ∈[0，π]，
∴向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$的夹角为$\frac{5π}{6}$．
故选：C．

点评 本题考查了平面向量的坐标运算与模长公式，数量积运算以及夹角公式的应用问题，是基础题．