Question

10．已知命题p：方程$\frac{x^2}{m}+\frac{y^2}{4-m}=1$表示焦点在x轴上的椭圆，命题q：（m-1）x²+（m-3）y²=1表示双曲线；若p∧q为真命题，则实数m的取值范围是2＜m＜3．

Answer 1

分析 方程$\frac{x^2}{m}+\frac{y^2}{4-m}=1$表示焦点在x轴上的椭圆，则$\left\{\begin{array}{l}{m＞0}\\{4-m＞0}\\{m＞4-m}\end{array}\right.$，从而得到p为真命题时m的范围；由：（m-1）x²+（m-3）y²=1表示双曲线得（m-1）（m-3）＜0，从而得到q为真命题时m的范围．再由p∧q为真命题知p，q都是真命题，联立不等式组解出m即可．

解答 解：∵方程$\frac{x^2}{m}+\frac{y^2}{4-m}=1$表示焦点在x轴上的椭圆，
∴$\left\{\begin{array}{l}{m＞0}\\{4-m＞0}\\{m＞4-m}\end{array}\right.$，解得2＜m＜4，即命题q为：2＜m＜4．
∵（m-1）x²+（m-3）y²=1表示双曲线，
∴（m-1）（m-3）＜0，解得1＜m＜3，即命题q：1＜m＜3．
由p∧q为真命题得：p为真，q为真．
∴$\left\{\begin{array}{l}{2＜m＜4}\\{1＜m＜3}\end{array}\right.$，解得2＜m＜3．
故答案为：2＜m＜3．

点评 本题考查罗建连接词、椭圆的方程、双曲线的方程，解不等式组，属于简单题．