Question

已知f（x）=

1

3

x³+

1

2

ax²+（a-1）x+1在区间（-1，1）上是减函数，在区间（2，3）是增函数，则实数a的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：导数的概念及应用

分析：利用导数判断函数的单调性，由题意列出不等式即可求得结论．

解答： 解：∵f（x）=

1

3

x³+

1

2

ax²+（a-1）x+1，
∴f′（x）=x²+ax+a-1=（x+1）（x+a-1），
∴当a=2时，f′（x）≥0，故函数f（x）在区间（-∞，+∞）上是增函数，不满足题意，
当a＞2时，由f′（x）＞0得，x＜1-a或x＞-1，由f′（x）＜0得1-a＜x＜-1，
故函数f（x）在区间（-∞，1-a），（-1，+∞）上是增函数，在（1-a，-1）上是减函数；
当a＜2时，由f′（x）＞0得，x＞1-a或x＜-1，由f′（x）＜0得-1＜x＜1-a，
故函数f（x）在区间（-∞，-1），（1-a，+∞）上是增函数，在（-1，1-a）上是减函数；
又f（x）=

1

3

x³+

1

2

ax²+（a-1）x+1在区间（-1，1）上是减函数，在区间（2，3）是增函数，
∴

a＜2 1≤1-a≤2

，
解得-1≤a≤0．

点评：本题主要考查利用导数研究函数的单调性求单调区间知识，考查学生的运算求解能力及分类讨论思想的运用能力，属中档题．