Question

12．从某市统考的学生数学考试卷中随机抽查100份数学试卷作为样本，分别统计出这些试卷总分，由总分得到如下的频率分布直方图．
（1）求这100份数学试卷的样本平均分$\overline x$和样本方差s²
（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）
（2）由直方图可以认为，这批学生的数学总分Z服从正态分布N（μ，σ²），其中μ近似为样本平均数$\overline x$，σ²近似为样本方差s²．
①利用该正态分布，求P（81＜z＜119）；
②记X表示2400名学生的数学总分位于区间（81，119）的人数，利用①的结果，求EX（用样本的分布区估计总体的分布）．
附：$\sqrt{366}$≈19，$\sqrt{326}$≈18，若Z=～N（μ，²），则P（μ-σ²），则P（μ-σ＜Z＜μ+σ）=0.6826，P（μ-2σ＜Z＜μ+2σ）=0.9544．

Answer 1

分析 （1）一组中的数据用该组区间的中点值作代表，求这100份数学试卷的样本平均分$\overline x$和样本方差s²；
（2）①利用该正态分布，Z～N（100，366），即可求P（81＜z＜119）；
②数学总分位于区间（81，119）的概率为0.6826，X～（2400，0.6826），即可求EX．

解答 解：（1）由题意，$\overline{x}$=60×0.02+70×0.08+80×0.14+90×0.15+100×0.24+110×0.15+120×0.1+130×0.08+140×0.04=100，
样本方差s²=（60-100）²×0.02+（70-100）²×0.08+（80-100）²×0.14+（90-100）²×0.15+（100-100）²×0.24+（110-100）²×0.15+（120-100）²×0.1+（130-100）²×0.08+（140-100）²×0.04=366；
（2）Z～N（100，366），P（81＜z＜119）=P（100-19＜z＜100+19）=0.6826；
②数学总分位于区间（81，119）的概率为0.6826，X～（2400，0.6826），
EX=2400×0.6826=1638.24．

点评 本题考查频率分布直方图的应用，样本方差的求法，正态分布，考查分析问题解决问题的能力，属于中档题．