Question

如图所示，△ABC是圆O的内接三角形，AC=BC，D为弧AB上任一点，延长DA至点E，使CE=CD．
（Ⅰ）求证：BD=AE；
（Ⅱ）若AC⊥BC，求证：AD+BD=

2

CD．

Answer 1

考点：与圆有关的比例线段

专题：直线与圆

分析：（Ⅰ）由题意知∠CAD=∠E+∠ECA=∠CAB+∠BAD，由此能够证明△ECA≌△DCB，从而得到BD=AE．
（Ⅱ）由已知条件推导出∠ECA+∠ACD=90°，DE=2

2

CD，由此能够证明AD+CD=

2

CD．

解答： （Ⅰ）证明：由题意知∠CAD=∠E+∠ECA=∠CAB+∠BAD，
∵AC=BC，∴∠CAB=∠DCB，∴∠ECA=∠DCB，
∴△ECA≌△DCB，∴BD=AE．
（Ⅱ）证明：∵AC⊥BC，∴∠ACB=90°=∠DAB+∠ACD，
∴∠ECA+∠ACD=90°，∵CE=CD，∴DE=2

2

CD，
∵BD=AE，AD+BD=DE，
∴AD+CD=

2

CD．

点评：本题考查线段长相等的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的简单性质的灵活运用．