Question

已知函数f（x）=log_a

x-3

x+3

，g（x）=1+log_a（x-1），（a＞0且a≠1），设f（x）和g（x）的定义域的公共部分为D，当[m，n]?D时，f（x）在[m，n]（m＜n）上的值域是[g（n），g（m）]，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：对数函数图象与性质的综合应用

专题：函数的性质及应用

分析：由函数f（x）的解析式求得f（x）的定义域为（-∞，-3）∪（3，+∞）．同理求得函数g（x）的定义域为（1，+∞），可得D=（3，+∞），根据f（x）在[m，n]（m＜n）上的值域是[g（n），g（m）]，可得 g（x）在[m，n]上是减函数，故有0＜a＜1．

解答： 解：∵函数f（x）=log_a

x-3

x+3

，∴

x-3

x+3

＞0，解得x＞3，或x＜-3，
故函数f（x）的定义域为（-∞，-3）∪（3，+∞）．
∵g（x）=1+log_a（x-1），（a＞0且a≠1），
∴x＞1，故函数g（x）的定义域为（1，+∞）．
设f（x）和g（x）的定义域的公共部分为D，则D=（3，+∞），
∵当[m，n]?D时，f（x）在[m，n]（m＜n）上的值域是[g（n），g（m）]，
∴g（x）在[m，n]上是减函数，故有0＜a＜1．
即实数a的取值范围为（0，1）．

点评：本题主要考查对数函数的图象和性质综合应用，属于中档题．