题目内容
已知双曲线C：
-
=1(a＞0，b＞0)，直线l：y=
(x-4)关于直线l1：y=
x对称的直线l′与x轴平行．
（1）求双曲线的离心率；
（2）若点M（4，0）到双曲线上的点P的最小距离等于1，求双曲线的方程．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| 3 |
| b |
| a |
（1）求双曲线的离心率；
（2）若点M（4，0）到双曲线上的点P的最小距离等于1，求双曲线的方程．
考点：直线与圆锥曲线的综合问题
专题：圆锥曲线中的最值与范围问题
分析：（1）由已知条件利用两直线的夹角公式推导出|
|=|
|，由此能求出双曲线的离心率．
（2）设双曲线为
-
=1，由点M（4，0）到双曲线上的点P的最小距离等于1，得到|
b-4|=1，由此能求出双曲线方程．
| ||||
1+
|
0-
| ||
1-0•
|
（2）设双曲线为
| x2 |
| 3b2 |
| y2 |
| b2 |
| 3 |
解答：
解：（1）∵双曲线C：
-
=1(a＞0，b＞0)，
直线l：y=
(x-4)关于直线l1：y=
x对称的直线l′与x轴平行，
∴k=
，k1=
，k′=0，
∴|
|=|
|，
解得
=
，或
=-
（舍）．
∴
=
，∴e=
=
=
=
．
∴双曲线的离心率e=
．
（2）∵
=
，∴a2=3b2，∴设双曲线为
-
=1，
∵点M（4，0）到双曲线上的点P的最小距离等于1，
∴|
b-4|=1，
解得
b=5，或
b=3．
当
b=5时，b=
，∴b2=
，3b2=25，
双曲线方程为
-
=1；
当
b=3时，b=
，b2=3，3b2=9，
双曲线方程为
-
=1．
∴双曲线的方程为
-
=1或
-
=1．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
直线l：y=
| 3 |
| b |
| a |
∴k=
| 3 |
| b |
| a |
∴|
| ||||
1+
|
0-
| ||
1-0•
|
解得
| b |
| a |
| ||
| 3 |
| b |
| a |
| 3 |
∴
| b |
| a |
| ||
| 3 |
|
1+
|
1+
|
2
| ||
| 3 |
∴双曲线的离心率e=
2
| ||
| 3 |
（2）∵
| b |
| a |
| ||
| 3 |
| x2 |
| 3b2 |
| y2 |
| b2 |
∵点M（4，0）到双曲线上的点P的最小距离等于1，
∴|
| 3 |
解得
| 3 |
| 3 |
当
| 3 |
| 5 | ||
|
| 25 |
| 3 |
双曲线方程为
| x2 |
| 25 |
| 3y2 |
| 25 |
当
| 3 |
| 3 |
双曲线方程为
| x2 |
| 9 |
| y2 |
| 3 |
∴双曲线的方程为
| x2 |
| 25 |
| 3y2 |
| 25 |
| x2 |
| 9 |
| y2 |
| 3 |
点评：本题考查双曲线的离心率和双曲线方程的求法，解题时要注意直线方程夹角公式的合理运用．
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A、
| ||
B、
| ||
C、
| ||
D、
|
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