Question

15．某国际化妆品生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2016年巴西奥运会期间进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，化妆品的年销量x万件与年促销费t万元之间满足3-x与t+1成反比例，如果不搞促销活动，化妆品的年销量只能是1万件，已知2016年生产化妆品的设备折旧，维修等固定费用为3万元，每生产1万件化妆品需再投入32万元的生产费用，若将每件化妆品的售价定为其生产成本的150%与平均每件促销费的一半的和，则当年生产的化妆品正好能销完．
（1）将2016年的利润y（万元）表示为促销费t万元的函数．
（2）该企业2016年的促销费投入多少时，企业的年利润最大？
（注：利润=销售收入-生产成本-促销费，生产成本=固定费用+生产费用）

Answer 1

分析 （1）利用已知条件求出比例系数，通过年利润=销售收入-生产成本-促销费，列出函数的关系式．
（2）化简函数的关系式，通过基本不等式求解函数的最值即可．

解答 解：（1）由题意可设$3-x=\frac{k}{t+1}$，将t=0，x=1代入，得k=2，∴$x=3-\frac{2}{t+1}$．…（2分）
当年生产x万件时，因为年生产成本=年生产费用+固定费用年生产成本为$32x+3=32×（3-\frac{2}{t+1}）+3$
当年销售x万件时，年销售收入为$150%×[{32×（{3-\frac{2}{t+1}}）+3}]+\frac{t}{2}$…（4分）
由题意，生产x万件化妆品正好销完，由年利润=销售收入-生产成本-促销费，
得年利润$y=\frac{-{t}^{2}+98t+35}{2（t+1）}，t≥0$．…（6分）
（2）$y=\frac{{-{t^2}+98t+35}}{2（t+1）}=50-（{\frac{t+1}{2}+\frac{32}{t+1}}）≤50-2\sqrt{\frac{t+1}{2}•\frac{32}{t+1}}=50-8=42$（万元），…（9分）
当且仅当$\frac{t+1}{2}=\frac{32}{t+1}$即t=7万元时利润最大值为42万元，…（11分）
所以当促销价这为7万元时，年利润最大．                                …（12分）

点评 本题考查函数的实际应用，基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力．