Question

7．在直角△ABC中，∠BCA=90°，CA=CB=1，P为AB边上的点$\overrightarrow{AP}$=λ$\overrightarrow{AB}$，若$\overrightarrow{CP}•\overrightarrow{AB}≥\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$，则λ的最小值是（　　）

• A． 1
• B． $\frac{{2-\sqrt{2}}}{2}$
• C． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• D． $\sqrt{2}$

Answer 1

分析 把三角形放入直角坐标系中，求出相关点的坐标，利用已知条件解不等式求出λ的最小值．

解答 解：直角△ABC中，∠BCA=90°，CA=CB=1，
以C为坐标原点，CA所在直线为x轴，
CB所在直线为y轴建立直角坐标系，如图所示；
则C（0，0），A（1，0），B（0，1），
∴$\overrightarrow{AB}$=（-1，1）；
又$\overrightarrow{AP}$=λ$\overrightarrow{AB}$，∴λ∈[0，1]；
∴$\overrightarrow{AP}$=λ（-1，1）=（-λ，λ），
∴$\overrightarrow{CP}$=$\overrightarrow{CA}$+$\overrightarrow{AP}$=（1-λ，λ），
$\overrightarrow{PB}$=$\overrightarrow{CB}$-$\overrightarrow{CP}$=（λ-1，1-λ）；
又$\overrightarrow{CP}•\overrightarrow{AB}≥\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$，
∴（1-λ）×（-1）+λ≥λ（λ-1）-λ（1-λ），
化简得2λ²-4λ+1≤0，
解得$\frac{2-\sqrt{2}}{2}$≤λ≤$\frac{2+\sqrt{2}}{2}$；
又∵λ∈[0，1]，
∴λ∈[$\frac{2-\sqrt{2}}{2}$，1]，
∴λ的最小值是$\frac{2-\sqrt{2}}{2}$．
故选：B．

点评 本题考查了向量在几何中的应用，向量的数量积以及向量的坐标运算问题，是综合题．