Question

已知函数f（x）=

a-lnx

x

（a∈R）．
（1）求f（x）的极值；
（2）若函数f（x）的图象与函数g（x）=-1的图象在区间（0，e]上有公共点，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,函数图象的作法

专题：导数的综合应用

分析：本题（1）先求出导函数，利用导函数值的正负研究函数的单调区间，得到本题结论；（2）利用（1）的结论，进行分类讨论，由根据存在性定理，得到相应关系式，解不等式，得到本题结论．

解答： 解：（1）∵函数f（x）=

a-lnx

x

（a∈R），
∴f′(x)=

- 1 x ×x-(a-lnx)

x2

=

lnx-1-a

x2

．
∴当0＜x＜e^a+1时，f′（x）＜0，函数f（x）在区间（0，e^a+1）上单调递减；
当x＞e^a+1时，f′（x）＞0，函数f（x）在区间（e^a+1，+∞）上单调递增；
∴当x=e^a+1时，f′（x）=0，函数f（x）有极值，f（e^a+1）=

a-(a+1)

ea+1

=-e^-a-1．
（2）由（1）知：当x=e^a+1时，函数f（x）有极小值，f（e^a+1）=-e^-a-1＜0．
记h（x）=f（x）-g（x）=f（x）+1，
当e^a+1＜e，即a+1＜1，a＜0时，
-e^-a-1+1＜0，
∴a＜-1．
当e^a+1≥e，即a+1≥1，a≥0时，
h（e）≤0，
∴

a-e

e

≤0，
∴0≤a≤1，
综上，a＜-1或0≤a≤1．

点评：本题考查了导函数与函数的单调性和最值，还考查了分类讨论的数学思想，本题有一定的计算量，难度适中，属于中档题．