Question

关于曲线C：

|x|

5

+

|y|

4

=1，下列四个命题中，所有真命题的组合是（　　）
①曲线C上的横、纵坐标的取值范围分别是-5≤x≤5，-4≤y≤4；
②曲线C关于x轴、y轴都是对称的，还关于原点对称；
③设P，Q是曲线C上的任意两点，则|PQ|≤10恒成立；
④设M（-3，0），N（3，0），P是曲线C上任意的点，则|PM|+|PN|≤10恒成立．

• A、①②③④
• B、①②③
• C、①②④
• D、①②

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程,简易逻辑

分析：曲线C：

|x|

5

+

|y|

4

=1，分类讨论可得图象如图所示．
①由

|x|

5

≤1，

|y|

4

≤1，解得-5≤x≤5，-4≤y≤4，即可判断出；
②把x，y分别换成-x，-y，方程不变，即可得出对称性；
③设P，Q是曲线C上的任意两点，取曲线上的两点（-5，0），（5，0），则|PQ|≤10恒成立；
④根据对称性只要取P（x，y）是线段

x

5

+

y

4

=1（x∈[0，5]，y∈[0，4]）上的任意一点，求出其最大值即可．由图可知当且仅当P取（5，0）时，|PM|+|PN|取得最大值10，即可得出．

解答： 解：曲线C：

|x|

5

+

|y|

4

=1，
①∵

|x|

5

≤1，

|y|

4

≤1，解得-5≤x≤5，-4≤y≤4，曲线C上的横、纵坐标的取值范围分别是-5≤x≤5，-4≤y≤4，因此正确；
②把x，y分别换成-x，-y，方程不变，因此曲线C关于x轴、y轴都是对称的，还关于原点对称；
③设P，Q是曲线C上的任意两点，取P（-5，0），Q（5，0），则|PQ|≤10恒成立，正确；
④根据对称性只要取P（x，y）是线段

x

5

+

y

4

=1（x∈[0，5]，y∈[0，4]）上的任意一点，求出其最大值即可．由图可知当且仅当P取（5，0）时，|PM|+|PN|取得最大值10，因此可得：|PM|+|PN|≤10恒成立．
综上可得：①②③④都正确．
故选：A．

点评：本题考查了函数（直线）的图象与性质、对称性、距离，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．