Question

15．三棱锥A-BCD中，△ABC为等边三角形，AB=2$\sqrt{3}$，∠BDC=90°，二面角A-BC-D的大小为150°，则三棱锥A-BCD的外接球的表面积为（　　）

• A． 7π
• B． 12π
• C． 16π
• D． 28π

Answer 1

分析 由题意画出图形，通过求解直角三角形可得三棱锥A-BCD的外接球的半径，代入球的表面积公式得答案．

解答 解：设球心为M，BC的中点为P，
∵三角形BDC满足∠BDC=90°，∴P为三角形BDC的外心，
设△ABC的外心为O，∵△ABC为等边三角形，
∴MO⊥平面ABC，MP⊥平面BDC，
∵二面角A-BC-D的大小为150°，∴∠OPM=60°，
在等边三角形ABC中，由AB=2$\sqrt{3}$，得AP=3，
∴OP=1，在Rt△MOP中，可得MO=$\sqrt{3}$，
在Rt△MOA中，得MA=$\sqrt{A{O}^{2}+M{O}^{2}}=\sqrt{{2}^{2}+（\sqrt{3}）^{2}}=\sqrt{7}$．
∴三棱锥A-BCD的外接球的表面积为$4π•（\sqrt{7}）^{2}=28π$．
故选：D．

点评 本题考查球的表面积与体积，考查空间想象能力和思维能力，属中档题．