Question

4．已知平面向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$的夹角为$\frac{π}{3}$，且|$\overrightarrow{a}$|=1，|$\overrightarrow{b}$|=$\frac{1}{2}$，则$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{b}$的夹角是（　　）

• A． $\frac{π}{6}$
• B． $\frac{5π}{6}$
• C． $\frac{π}{4}$
• D． $\frac{3π}{4}$

Answer 1

分析 结合题意设出$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$的坐标，求出$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$的坐标以及$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$的模，代入公式求出$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{b}$的夹角余弦值即可求出角的度数．

解答 解：平面向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$的夹角为$\frac{π}{3}$，且|$\overrightarrow{a}$|=1，|$\overrightarrow{b}$|=$\frac{1}{2}$，
不妨设$\overrightarrow{a}$=（1，0），$\overrightarrow{b}$=（$\frac{1}{4}$，$\frac{\sqrt{3}}{4}$），
故$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$=（$\frac{3}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），|$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{3}$，
（$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$）•$\overrightarrow{b}$=$\frac{3}{2}$×$\frac{1}{4}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{4}$=$\frac{3}{4}$，
故cos＜$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{b}$＞=$\frac{（\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}）•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}|•|\overrightarrow{b}|}$=$\frac{\frac{3}{4}}{\sqrt{3}•\frac{1}{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
故$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{b}$的夹角是$\frac{π}{6}$，
故选：A．

点评 本题考查了平面向量数量积的运算，考查向量夹角的余弦公式，是一道中档题．