Question

已知f（x）=x³-ax²+3x，g（x）=lnx+b
（Ⅰ）若曲线h（x）=

f(x)

x

+g（x）在x=1处的切线是x+y=0，求实数a和b的值；
（Ⅱ）若x=3是f（x）的极值点，求f（x）在[0，2]上的最大最小值．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：计算题,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）h（x）=

f(x)

x

+g（x）=x²-ax+3+lnx+b，求导h′（x）=2x-a+

1

x

；从而可得

2-a+1=-1 1-a+3+b=-1

，从而解得；
（Ⅱ）f′（x）=3x²-2ax+3，由题意可得3×3²-6a+3=0从而解出a，列表得到函数的最值．

解答： 解：（Ⅰ）∵h（x）=

f(x)

x

+g（x）=x²-ax+3+lnx+b，
∴h′（x）=2x-a+

1

x

；
∵在x=1处的切线是x+y=0，
∴

2-a+1=-1 1-a+3+b=-1

，
解得，a=4，b=-1；
（Ⅱ）f′（x）=3x²-2ax+3，
∵x=3是f（x）的极值点，
∴f′（3）=3×3²-6a+3=0，
解得a=5；
故f（x）=x³-5x²+3x，f′（x）=3x²-10x+3，
经检验成立；
在[0，2]列出x，f（x），f′（x）如下表，

x	0	（0， 1 3 ）	1 3	（ 1 3 ，2）	2
f′（x）		+	0	-
f（x）	0	上升	极大值 13 27	下降	-6

函数f（x）在x=

1

3

处有最大值

13

27

；
在x=2处有最小值-6．

点评：本题考查了导数的综合应用及闭区间上的最值，属于中档题．