Question

已知函数g（x）=ax²-2ax+1+b（a≠0，b＜1），在区间[2，3]上有最大值4，最小值1，设f（x）=

g(x)

x

．
（1）求a，b的值；
（2）不等式f（2^x）-k•2^x≥0在x∈[-1，1]上恒成立，求实数k的取值范围；
（3）方程f（|2^x-1|）+k（

2

|2x-1|

-3）有三个不同的实数解，求实数k的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题,函数的零点与方程根的关系

专题：函数的性质及应用

分析：（1）利用二次函数闭区间上的最值，通过a与0的大小讨论，列出方程，即可求a，b的值；
（2）转化不等式f（2^x）-k•2^x≥0，为k在一侧，另一侧利用换元法通过二次函数在x∈[-1，1]上恒成立，求出最值，即可求实数k的取值范围；
（3）化简方程f（|2^x-1|）+k（

2

|2x-1|

-3）=0，转化为两个函数的图象的交点的个数，利用方程有三个不同的实数解，推出不等式然后求实数k的取值范围．

解答： 附加题：（本题共10分）
解：（1）g（x）=a（x-1）²+1+b-a，
当a＞0时，g（x）在[2，3]上为增函数，
故

g(3)=4 g(2)=1

，可得  

9a-6a+1+b=4 4a-4a+1+b=1

，?

a=1 b=0

．
当a＜0时，g（x）在[2，3]上为减函数．
故

g(3)=1 g(2)=4

  可得  

9a-6a+1+b=1 4a-4a+1+b=4

可得  

a=-1 b=3

，
∵b＜1
∴a=1，b=0
即g（x）=x²-2x+1．f（x）=x+

1

x

-2．…（3分）
（2）方程f（2^x）-k•2^x≥0化为2^x+

1

2x

-2≥k•2^x，
k≤1+

1

(2x)2

-

2

2x

令

1

2x

=t，k≤t²-2t+1，
∵x∈[-1，1]，∴t∈[

1

2

，2]，记φ（t）=t²-2t+1，
∴φ（t）_min=0，
∴k≤0．…（6分）k
（3）由f（|2^x-1|）+k（

2

|2x-1|

-3）=0
得|2^x-1|+

1+2k

|2x-1|

-（2+3k）=0，
|2^x-1|²-（2+3k）|2^x-1|+（1+2k）=0，|2^x-1|≠0，
令|2^x-1|=t，则方程化为t²-（2+3k）t+（1+2k）=0（t≠0），
∵方程|2^x-1|+

1+2k

|2x-1|

-（2+3k）=0有三个不同的实数解，
∴由t=|2^x-1|的图象（如右图）知，
t²-（2+3k）t+（1+2k）=0有两个根t₁、t₂，且0＜t₁＜1＜t₂或0＜t₁＜1，t₂=1，
记φ（t）=t²-（2+3k）t+（1+2k），
则

ϕ(0)=1+2t＞0 ϕ(1)=-k＜0

或

φ(0)=1+2t＞0 φ(1)=-k=0 0＜ 2+3k 2 ＜1

　
∴k＞0．…（10分）

点评：本题考查函数恒成立，二次函数闭区间上的最值的求法，考查转化思想的应用．