Question

已知函数f（x）=sin²2x+

3

sin2x•cos2x．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）若x∈[

π

8

，

π

4

]，求f（x）的值域．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,三角函数的周期性及其求法,正弦函数的图象

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（1）化简函数f（x）的解析式，由三角函数的周期性及其求法即可求出函数f（x）的最小正周期；
（2）根据x的取值范围，求出4x-

π

6

的取值范围，从而可求f（x）的值域．

解答： 解：（1）∵f（x）=sin²2x+

3

sin2x•cos2x=

1-cos4x

2

+

3

2

sin4x=sin（4x-

π

6

）+

1

2

，
∴T=

2π

4

=

π

2

，
即函数f（x）的最小正周期为

π

2

；
（2）∵x∈[

π

8

，

π

4

]，
∴4x-

π

6

∈[

π

3

，

5π

6

]，
∴sin（4x-

π

6

）∈[

1

2

，1]，
∴sin（4x-

π

6

）+

1

2

∈[1，

3

2

]，
∴f（x）的值域为[1，

3

2

]．

点评：本题主要考察了三角函数中的恒等变换应用，三角函数的周期性及其求法，三角函数的图象与性质，属于基本知识的考查．