Question

已知函数f'（x）=

2ax2+x-(2a-1)

x2

=

(x+1)[2ax-(2a-1)]

x2

．
（1）若函数f（x）在（0，+∞），f'（x）≥0处取得极值，求f'（x）≤0，（0，+∞）的值；
（2）若a=0，函数f'（x）=

x+1

x2

＞0在f（x）上是单调函数，求（0，+∞）的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性

专题：计算题,导数的综合应用

分析：（1）求导f′(x)=2a-

b

x2

+

1

x

，由题意可得

f′(1)=0 f′( 1 2 )=0

，从而求出a，b；
（2）由f′（1）=2可得b=2a-1，从而化f′(x)=

2ax2+x-(2a-1)

x2

=

(x+1)[2ax-(2a-1)]

x2

；从而得到f′（x）≥0或f′（x）≤0在（0，+∞）上恒成立，从而求得．

解答： 解：（1）f′(x)=2a-

b

x2

+

1

x

，
由

f′(1)=0 f′( 1 2 )=0

，可得  

a=- 1 3 b= 1 3

．
（2）函数f（x）的定义域是（0，+∞），因为f′（1）=2，所以b=2a-1．
所以f′(x)=

2ax2+x-(2a-1)

x2

=

(x+1)[2ax-(2a-1)]

x2

；
要使f（x）在（0，+∞）上是单调函数，只要f′（x）≥0或f′（x）≤0在（0，+∞）上恒成立．
当a=0时，f′(x)=

x+1

x2

＞0恒成立，所以f（x）在（0，+∞）上是单调函数；
当a＜0时，令f′（x）=0，x₁=-1，x2=1-

1

2a

＞1，f（x）在（0，+∞）上不单调，
当a＞0时，要使f（x）在（0，+∞）上是单调函数，只要1-2a≥0，即0＜a≤

1

2

综上所述，a的取值范围是a∈[0，

1

2

]．

点评：本题考查了导数的综合应用，属于中档题．