Question

如图1，在四边形ABCD中，AD⊥CD，CD∥AB，AB=2AD=2CD=4，M为线段AB的中点，将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到几何体D-ABC，如图2，所示．
（1）求证：平面BCD⊥平面ACD；
（2）求二面角A-CD-M的余弦值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,平面与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）要证BC⊥平面ACD，只需证明BC垂直平面ACD内的两条相交直线AC、OD即可；
（2）建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，利用向量的数量积，求二面角A-CD-M的余弦值．

解答： （1）证明：在图1中，可得AC=BC=2

2

，
从而AC²+BC²=AB²，故AC⊥BC，
取AC的中点O，连结DO，则DO⊥AC，
又面ADC⊥面ABC，面ADC∩面ABC=AC，DO?面ACD，
从而OD⊥平面ABC，
∵BC?面ABC，
∴OD⊥BC，
又AC⊥BC，AC∩OD=O，
∴BC⊥平面ACD，
∵BC?平面BCD，∴平面BCD⊥平面ACD．
（2）解：建立空间直角坐标系O-xyz如图所示，
则M（0，

2

，0），C（-

2

，0，0），D（0，0，

2

），

CM

=（

2

，

2

，0），

CD

=（

2

，0，

2

），
设

n

=（x，y，z）为面CDM的法向量，
则

n • CM = 2 x+ 2 y=0 n • CD = 2 x+ 2 z=0

，
令x=-1，可得

n

=（-1，1，1）
又

m

=（0，1，0）是面ACD的一个法向量，
∴cos＜

n

，

m

＞=

1

3

=

3

3

，
∴二面角A-CD-M的余弦值为

3

3

．

点评：本题考查直线与平面的存在的判定，二面角的求法，考查逻辑思维能力和空间想象能力，是中档题．