Question

已知函数f（x）=lg（x-1），g（x）=lg（x²+1）
（1）求f（x）和g（x）的定义域；
（2）判断g（x）奇偶性，并证明你的结论；
（3）判断f（x）在其定义域上的单调性？并证明你的结论．

Answer 1

考点：函数的定义域及其求法,函数奇偶性的判断

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（1）由函数的定义域的求法，对数的真数必须大于0，解不等式即可得到定义域；
（2）运用函数的奇偶性的定义，注意判断定义域是否关于原点对称，再计算f（-x）；
（3）运用函数的单调性的定义，注意作差、变形、定符号、下结论几个步骤．

解答： 解：（1）由于函数f（x）=lg（x-1），则x-1＞0，即x＞1，定义域为（1，+∞），
由于g（x）=lg（x²+1），则x²+1＞0，即x∈R，则定义域为R；
（2）g（x）在R上是偶函数．
理由如下：定义域为R，关于原点对称，
g（-x）=lg[（-x）²+1]=g（x），则g（x）在R上是偶函数；
（3）f（x）在（1，+∞）上为增函数．
理由如下：令1＜m＜n，则f（m）-f（n）=lg（m-1）-lg（n-1）
=lg

m-1

n-1

，由于

m-1

n-1

-1=

m-n

n-1

，又1＜m＜n，则m-n＜0，n-1＞0，
即有由于

m-1

n-1

＜1，则lg

m-1

n-1

＜0，即有f（m）＜f（n），
则有f（x）在（1，+∞）上为增函数．

点评：本题考查函数的性质和运用，考查函数的定义域的求法，函数的奇偶性的判断和单调性的判断，注意运用定义，属于基础题．