Question

已知函数f（x）=x²-2ax+a+2，
（1）若f（x）≤0的解集A⊆[0，3]，求实数a的取值范围；
（2）若g（x）=f（x）+|x²-1|在区间（0，3）内有两个零点x₁，x₂（x₁＜x₂），求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：根的存在性及根的个数判断

专题：计算题,选作题,函数的性质及应用

分析：（1）讨论集合A是否是空集，从而求解，
（2）g（x）=x²-2ax+a+2+|x²-1|=

2x2-2ax+a+1，|x|≥1 -2ax+a+3，|x|＜1

，首先讨论a是否是0，在a≠0时，讨论函数的零点的位置，从而确定实数a所满足的条件，从而求其范围．

解答： 解：（1）若A=ϕ，则△=4a²-4（a+2）=4（a-2）（a+1）＜0⇒-1＜a＜2，
若A≠ϕ，则

△≥0 0＜a＜3 f(0)≥0 f(3)≥0

⇒

a≤-1或a≥2 0＜a＜3 a+2≥0 9-6a+a+2≥0

⇒2≤a≤

11

5

．
综上可得：-1＜a≤

11

5

．
（2）g（x）=x²-2ax+a+2+|x²-1|=

2x2-2ax+a+1，|x|≥1 -2ax+a+3，|x|＜1

．
若a=0，则g（x）=

2x2+1，|x|≥1 3，|x|＜1

，无零点；
若a≠0，则-2ax+a+3在（0，1）单调，
∴其在（0，1）内至多有一个零点．
①若0＜x₁＜1≤x₂＜3，
则

3(-a+3)＜0 (3-a)(19-5a)≤0

，
解得，3＜a≤

19

5

，
经检验，a=

19

5

时不成立，
②若1≤x₁＜x₂＜3，
由

△=4a2-8(a+1)＞0 1＜ a 2 ＜3 3-a≥0 19-5a＞0

，
解得，1+

3

＜a≤3，
综上所述，实数a的取值范围是（1+

3

，

19

5

）．

点评：本题考查了函数的零点的问题，数学讨论的思想，讨论比较复杂，要注意细心，属于难题．