Question

正四面体ABCD的外接球的体积为4

3

π，则正四面体ABCD的体积是

 

．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：计算题,空间位置关系与距离

分析：设正四面体的棱长为x，求出正四面体的高，由于外接球的体积为4

3

π，运用体积公式，解得r=

3

，利用勾股定理求出x的值，运用棱锥的体积公式，可求正四面体ABCD的体积．

解答： 解：设正四面体的棱长为x，
则底面三角形的高为

3

2

x，即有BH=

2

3

×

3

2

x=

3

3

x，
棱锥的高为AH=

AB2-BH2

=

x2- 1 3 x2

=

6

3

x，
由于外接球的体积为4

3

π，即有

4

3

πr³=4

3

π，解得r=

3

，
在直角三角形BOH，得BO²=BH²+OH²，
即有r²=（

6

3

x-r）²+（

3

3

x）²，解得x=

2 6

3

r=2

2

，
则正四面体ABCD的体积为

1

3

×AH•S_△BCD=

1

3

×

6

3

×2

2

×

3

4

×（2

2

）²=

8

3

故答案为：

8

3

点评：本题考查球的内接多面体的知识，考查计算能力，逻辑思维能力，是中档题．