题目内容

已知点G是△ABC的重心，若∠A=120°，
AB
•
AC
=-2，则|
AG
|的最小值是（　　）
A、
3
3
B、
2
2
C、
2
3
D、
3
4
考点：平面向量数量积的运算
专题：平面向量及应用
分析：设BC的中点为D，由于点G是△ABC的重心，可得
AG
=
2
3
AD
=
2
3
×
1
2
(
AB
+
AC
)=
1
3
(
AB
+
AC
)．两边做数量积并利用基本不等式可得
AG
2=
1
9
(
AB
2+
AC
2+2
AB
•
AC
)=
1
9
(
AB
2+
AC
2-4)≥
1
9
(2|
AB
| |
AC
|-4)，当且仅当|
AB
|=|
AC
|时取等号．即可得出．
解答： 解：设BC的中点为D，
∵点G是△ABC的重心，
∴
AG
=
2
3
AD
=
2
3
×
1
2
(
AB
+
AC
)=
1
3
(
AB
+
AC
)．
∴
AG
2=
1
9
(
AB
2+
AC
2+2
AB
•
AC
)=
1
9
(
AB
2+
AC
2-4)≥
1
9
(2|
AB
| |
AC
|-4)，当且仅当|
AB
|=|
AC
|时取等号．
由
AB
•
AC
=-2，得到|
AB
| |
AC
|cos120°=-2，
∴|
AB
|=2．
∴|
AG
|min=
1
9
(2×2×2-4)
=
2
3
．
故选：C．
点评：本题考查了三角形的重心的性质、向量的三角形法则、基本不等式，属于基础题．
练习册系列答案
相关题目
已知下列命题：
①若A、B、C、D是空间任意四点，则有
AB
+
BC
+
CD
+
DA
=
0
；
②|
a
+
b
|=
|a|
+
|b|
是
a
、
b
共线的充要条件；
③若
a
，
b
，
c
是空间三向量，则|
a
-
b
|≤|
a
-
c
|+|
c
-
b
|；
④对空间任意点O与不共线的三点A、B、C，若
0P
=x
OA
+y
OB
+z
OC
（其中x、y、z∈R），则P、A、B、C四点共面．
其中不正确的命题的序号是
 
．
已知两点A（-4，0），B（0，3），若点P是圆x2+y2-2x=0上的动点，则△PAB的面积的最大值为
 
．
一个圆锥过轴的截面为等边三角形，它的顶点和底面圆周在球O的球面上，则该圆锥的表面积与球O的表面积的比值为（　　）
A、
3
7
B、
9
25
C、
3
16
D、
9
16
函数y=
sinx
x2-x
+
log
1
2
(x+4)
的定义域为（　　）
A、（-4，-π]
B、[-π，-3]
C、[-3，0]
D、（1，+∞）
已知双曲线标准方程为：
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)，一条渐近线方程为y=x，点P（2，1）在双曲线的右支上，则a的值为（　　）
A、1
B、2
C、
3
D、3
设f（x）=x2-2x-4lnx，则f′（x）＜0的解集为（　　）
A、（2，+∞）
B、（-1，0）U（2，+∞）
C、（-1，2）
D、（0，2）
已知F1，F2为椭圆
x2
25
+
y2
9
=1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A，B两点，|AB|=8，则|AF2|+|BF2|=（　　）
A、2B、10C、12D、14
关于x的不等式x2-4ax+3a2＜0（a＞0）的解集为（x1，x2），则x1+x2+
a
x1x2
的最小值是（　　）
A、
6
3
B、
2
3
3
C、
4
3
3
D、
2
3
6

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