Question

7．（文科班选做此题）已知a＞0，命题p：?x≥1，x-$\frac{a}{x}$+2≥0恒成立，命题q：点P（1，1）在圆（x-a）²+（y-a）²=4的外部，是否存在正数a，使得p∨q为真命题；p∧q假命题，若存在，请求出a的范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 根据条件求出命题的成立的等价条件，根据复合命题真假关系进行判断即可．

解答 解：若：?x≥1，x-$\frac{a}{x}$+2≥0，即x+2≥$\frac{a}{x}$，
即x²+2x≥a在x≥1时成立，
设f（x）=x²+2x，则f（x）=（x+1）²-1，
当x≥1时，函数f（x）为增函数，则函数f（x）的最小值为f（1）=1+2=3，
则a≤3，即p：a≤3
若点P（1，1）在圆（x-a）²+（y-a）²=4的外部，
则（1-a）²+（1-a）²＞4，
即（a-1）²＞2，即a＞1+$\sqrt{2}$或a＜1-$\sqrt{2}$，
若存在正数a，使得p∨q为真命题；p∧q假命题，
则p，q为一真一假，
则此时p：0＜a≤3，q：a＞1+$\sqrt{2}$，
若p真q假，则$\left\{\begin{array}{l}{0＜a≤3}\\{0＜a≤1+\sqrt{2}}\end{array}\right.$，得0＜a≤1+$\sqrt{2}$，
若p假q真，则$\left\{\begin{array}{l}{a＞3}\\{a＞1+\sqrt{2}}\end{array}\right.$，得a＞3，
综上0＜a≤1+$\sqrt{2}$或a＞3．

点评 本题主要考查复合命题真假的应用，根据条件求出命题的等价条件是解决本题的关键．