Question

17．已知函数f（x）=mlnx-x²+2（m∈R）．
（Ⅰ）当m=1时，求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若f（x）在x=1时取得极大值，求证：f（x）-f′（x）≤4x-3；
（Ⅲ）若m≤8，当x≥1时，恒有f（x）-f′（x）≤4x-3恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），求出函数的导数，利用f′（x）=0，求出极值点判断函数的单调性，求出单调区间．
（Ⅱ）利用f（x）在x=1时取得极大值，求出m，令g（x）=f（x）-f′（x）-4x+3，通过函数的导数，求出函数的最值即可．
（Ⅲ）令$g（x）=mlnx-{x^2}+2-\frac{m}{x}+2x-4x+3=mlnx-{x^2}-2x-\frac{m}{x}+5$，求出导函数，通过当m≤2时，g′（x）＜0，当2＜m≤8时，求出g（x）取得最大值．然后求解2≤m≤8．…．

解答 （本小题满分14分）
解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），$f'（x）=\frac{1}{x}-2x=\frac{{-2{x^2}+1}}{x}$，…（1分）
解f′（x）=0，得$x=±\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．当$0＜x＜\frac{{\sqrt{2}}}{2}$时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；
当$x＞\frac{{\sqrt{2}}}{2}$时，f′（x）＜0，f（x）单调递减．…（3分）
综上，当m=1时，f（x）在$（{0，\frac{{\sqrt{2}}}{2}}）$上单调递增，在$（{\frac{{\sqrt{2}}}{2}，+∞}）$上单调递减．…（4分）
（Ⅱ）若f（x）在x=1时取得极大值，则$\sqrt{\frac{m}{2}}=1$，则m=2．…（5分）
此时f（x）=2lnx-x²+2，$f'（x）=\frac{2}{x}-2x$．
令g（x）=f（x）-f′（x）-4x+3，
则$g（x）=2lnx-{x^2}+2-\frac{2}{x}+2x-4x+3=2lnx-{x^2}-\frac{2}{x}-2x+5$.$g'（x）=\frac{2}{x}-2x+\frac{2}{x^2}-2=\frac{{-2{x^3}-2{x^2}+2x+2}}{x^2}=\frac{{（{2x+2}）（{1-{x^2}}）}}{x^2}$．…（6分）
令g′（x）=0，得x=±1．列表得

x	（0，1）	1	（1，+∞）
g′（x）	+	0	-
g（x）	↗	极大值	↘

…（8分）
由上表知，g_max（x）=g（1）=0，所以g（x）≤0，即f（x）-f′（x）≤4x-3．…（9分）
（Ⅲ）令$g（x）=mlnx-{x^2}+2-\frac{m}{x}+2x-4x+3=mlnx-{x^2}-2x-\frac{m}{x}+5$…（10分）
则$g'（x）=\frac{m}{x}-2x-2+\frac{m}{x^2}=\frac{{-2{x^3}-2{x^2}+mx+m}}{x^2}=\frac{{（{x+1}）（{m-2{x^2}}）}}{x^2}$①．
当m≤2时，g′（x）＜0，所以g（x）在（1，+∞）上单调递减，所以当x≥1，g（x）≤g（1），
故只需g（1）≤0，即-1-2-m+5≤0，即m≥2，所以m=2．…（12分）
②当2＜m≤8时，解g′（x）=0，得$x=±\sqrt{\frac{m}{2}}$．
当$1＜x＜\sqrt{\frac{m}{2}}$时，g′（x）＞0，g（x）单调递增；
当$x＞\sqrt{\frac{m}{2}}$时，g′（x）＜0，g（x）单调递减．
所以当$x=\sqrt{\frac{m}{2}}$时，g（x）取得最大值．
故只需$g（{\sqrt{\frac{m}{2}}}）≤0$，即$mln\sqrt{\frac{m}{2}}-\frac{m}{2}-2\sqrt{\frac{m}{2}}-\frac{m}{{\sqrt{\frac{m}{2}}}}+5≤0$，
令$h（x）=xlnx-x-4\sqrt{x}+5$，则$h'（x）=1+lnx-1-\frac{2}{{\sqrt{x}}}=lnx-\frac{2}{{\sqrt{x}}}$，$h''（x）=\frac{1}{x}+\frac{1}{{x\sqrt{x}}}＞0$，
所以h′（x）在（1，+∞）上单调递增，
又h′（1）=-2＜0，h′（4）=ln4-1＞0，以?x₀∈（1，4），h′（x₀）=0，
所以h（x）在（1，x₀）上单调递减，
在（x₀，4）上递增，而h（1）=-1-4+5=0，h（4）=4ln4-4-8+5=8ln2-7＜0，
所以x∈[1，4]上恒有h（x）≤0，
所以当2＜m≤8时，$mln\sqrt{\frac{m}{2}}-\frac{m}{2}-2\sqrt{\frac{m}{2}}-\frac{m}{\sqrt{\frac{m}{2}}}+5≤0$．
综上所述，2≤m≤8．…（14分）

点评 本题考查函数的最值的求法，函数的极值以及函数的单调区间的应用，考查构造法的应用，分析问题解决问题的能力．