Question

在平面直角坐标系xOy中，动点P到定点(1,0)的距离与到定直线x＝2的距离之比为，设动点P的轨迹为C.

(1)求出轨迹C的方程；

(2)设动直线l：y＝kx－与曲线C交于A，B两点，问在y轴上是否存在定点G，使∠AGB为直角？若存在，求出G的坐标，并求△AGB面积的最大值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：(1)设P(x，y)，则依题意有

＝，化简得＋y²＝1.

(2)由得

(2k²＋1)x²－kx－＝0.

设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，G(0，m)，

则需解得m＝1.

因此，存在点G(0,1)，使得∠AGB为直角．

又点G到AB的距离d＝

所以，S_△AGB＝|AB|d＝，

设t＝2k²＋1，t∈[1，＋∞)，

当且仅当t＝1时，上式等号成立．

因此，△AGB 面积的最大值是.