Question

设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且S₄=4S₂，a_2n=2a_n+1．数列{b_n}的前n项和为R_n，R_n=1-

1

2n

，（n∈N^*），
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）求数列{a_n•b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）根据条件建立方程，求出公差即可求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）求数列{a_n•b_n}的通项公式，利用错位相减法即可求出数列的前n项和T_n．

解答： 解：由S₄=4S₂，a_2n=2a_n+1得

4a1+6d=8a1+4d a1+(2n-1)d=2a1+2(n-1)d+1

，
解得a₁=1，d=2，
即a_n=2n-1．
∵数列{b_n}的前n项和为R_n，R_n=1-

1

2n

，
∴当n≥2时，b_n=R_n-R_n-1=

1

2n-1

-

1

2n

=

1

2n

，
当n=1时，R₁=1-

1

2

=

1

2

满足b_n=

1

2n

，
故b_n=

1

2n

．
（2）a_n•b_n=（2n-1）•

1

2n

．
则T_n=

1

2

+

3

22

+

5

23

+…+

2n-1

2n

，

1

2

T_n=

1

22

+

3

23

+…+

2n-3

2n

+

2n-1

2n+1

，
两式相减得：

1

2

T_n=

1

2

+（

2

22

+

2

23

+…

2

2n

）-

2n-1

2n+1

=

3

2

-

1

2n-1

-

2n-1

2n+1

，
则T_n=3-

2n+3

2n

．

点评：本题主要考查等差数列的通项公式的计算，以及数列求和，利用错位相减法是解决本题的关键．