Question

已知数列{a_n} 的首项a₁=1前n项和S_n满足S_n+1=S_n+a_n+1，n∈N^*，数列{b_n}的前n项和T_n=1-

1

3

b_n
（Ⅰ）求数列{a_n}与{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设C_n=a_n•

bn

，
    ①求数列{c_n}前n项和P_n；  
    ②证明：当且仅当n≥2时，c_n+1＜c_n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列与不等式的综合

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由S_n+1=S_n+a_n+1，可得{a_n}是首项为1，公差为1的等差数列，当n≥2时，b_n=T_n-T_n-1=1-

1

3

b_n-1+

1

3

b_n-1，
可得数列{b_n}是等比数列，其首项为

3

4

，公比为

1

4

，即可求数列{a_n}与{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）①利用错位相减法可求数列{c_n}前n项和P_n；  
②由

cn+1

cn

＜1，即

n+1

2n

＜1，可得n≥2，结合c_n＞0恒成立，即可得出结论．

解答： （Ⅰ）解：由于S_n+1=S_n+a_n+1，
∴S_n+1-S_n=a_n+1，
∴a_n+1-a_n=1，
∴{a_n}是首项为1，公差为1的等差数列，
∴a_n=n        …（2分）
又当n≥2时，b_n=T_n-T_n-1=1-

1

3

b_n-1+

1

3

b_n-1，
∴4b_n=b_n-1，
又b₁=1-

1

3

b₁，∴b₁=

3

4

，
∴数列{b_n}是等比数列，其首项为

3

4

，公比为

1

4

，
∴b_n=3•(

1

4

)n…（4分）
（Ⅱ）①解：由（Ⅰ）知c_n=a_n•

bn

=

3 n

2n

，
∴P_n=

3

（

1

2

+

2

22

+…+

n

2n

），
∴

1

2

P_n=

3

（

1

22

+

2

23

+…+

n-1

2n

+

n

2n+1

），
两式相减可得

1

2

P_n=

3

（

1

2

+

1

22

+…+

1

2n

-

n

2n+1

），
∴P_n=

3

（2-

n+2

2n

）…（9分）
②证明：由c_n=a_n•

bn

=

3 n

2n

，可得

cn+1

cn

=

n+1

2n

，
由

cn+1

cn

＜1，即

n+1

2n

＜1，可得n≥2
又n≥2时

cn+1

cn

＜1，由于c_n＞0恒成立．
因此，当且仅当n≥2时，c_n+1＜c_n．        …（13分）

点评：本题考查数列与不等式的综合，考查等差数列、等比数列的通项，考查数列的求和，考查学生分析解决问题的能力，难度中等．