Question

已知函数f（x）=（x+1）ln（x+1）-ax²-x（a∈R），若对任意x＞0，f（x）＜0恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用

专题：导数的概念及应用,导数的综合应用

分析：若对任意x＞0，f（x）＜0恒成立，仅需函数f（x）=（x+1）ln（x+1）-ax²-x在（0，+∞）上递减即可，即f′（x）=ln（x+1）-2ax≤0在（0，+∞）上恒成立，即当x＞0时，y=2ax的图象恒在y=ln（x+1）图象的上方，进而可得a的取值范围．

解答： 解：∵函数f（x）=（x+1）ln（x+1）-ax²-x，
∴f′（x）=ln（x+1）-2ax，
∵f（0）=0，
若对任意x＞0，f（x）＜0恒成立，
仅需函数f（x）=（x+1）ln（x+1）-ax²-x在（0，+∞）上递减即可，
即f′（x）=ln（x+1）-2ax≤0在（0，+∞）上恒成立，
即当x＞0时，y=2ax的图象恒在y=ln（x+1）图象的上方，
由于y=2ax的图象与y=ln（x+1）图象交于（0，0）点，
故y=ln（x+1）的导数

1

x+1

＜2a在x＞0时恒成立，
由于g（x）=

1

x+1

在（0，+∞）上为减函数，且g（0）=1，
则2a≥1，
即a≥

1

2

，
故a的取值范围为：[

1

2

，+∞）

点评：本题考查的知识点是恒成立问题，利用导数分析函数的单调性，本题的转化比较复杂，属于难题．